Il y a en moyenne autant de nombres premiers dont la somme des chiffres décimaux est paire que de nombres premiers pour lesquels elle est impaire. Cette hypothèse formulée en 1968 vient d’être démontrée par des chercheurs de l’Institut de mathématiques de Luminy (CNRS/Université de la Méditerranée).

Un nombre premier est un nombre entier supérieur ou égal à 2 dont les seuls diviseurs entiers sont 1 et lui-même. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11,…, 1789,… sont des nombres premiers, alors que 9, divisible par 3, n’est pas un nombre premier.

De nombreux problèmes arithmétiques concernent les nombres premiers et la plupart d’entre eux sont sans réponse, parfois depuis plusieurs siècles. Par exemple, on sait depuis Euclide que la suite des nombres premiers est infinie, mais on ne sait toujours pas s’il existe une infinité de nombres premiers p tels que p+2 est aussi un nombre premier (problème des nombres premiers jumeaux). De même on ne sait pas s’il existe une infinité de nombres premiers dont la représentation décimale n’utilise pas le chiffre 7.

Deux chercheurs de l’Institut de mathématiques de Luminy (CNRS/Université de la Méditerranée) viennent de faire une percée importante sur une conjecture formulée en 1968 par le mathématicien russe Alexandre Gelfond concernant la somme des chiffres des nombres premiers. Ils ont démontré en particulier qu’il y a en moyenne autant de nombres premiers dont la somme des chiffres décimaux est paire que de nombres premiers pour lesquels elle est impaire.

Les méthodes mises en oeuvre pour obtenir ce résultat, issues de la combinatoire, de la théorie analytique des nombres et de l’analyse harmonique, sont très novatrices et devraient ouvrir la voie à la résolution d’autres questions difficiles concernant la représentation de certaines suites de nombres entiers.

En complément de leur intérêt théorique, ces questions sont directement liées à la construction de suites de nombres pseudo-aléatoires et ont des applications importantes en simulation numérique et en cryptographie.

Représentation en spirale

Représentation en spirale (selon Stanislaw Ulman), des 200.000 premiers Nombres Premiers où apparaissent des lignes distribuées.

Références : Sur un problème de Gelfond : la somme des chiffres des nombres premiers, C. Mauduit, J. Rivat, Annals of Mathematics, Vol. 171 (2010), No. 3, 1591–1646, mai 2010